04 Nov 3 vectores pueden definir el mismo plano o no
Deseamos comprobar si 3 vectores son linealmente dependientes (uno es combinación lineal de los otros dos) o no. Utilizaremos los determinantes para averiguar en qué situación estamos.
3 Vectores en el mismo plano
3 vectores son linealmente dependientes cuando el determinante de la matriz 3×3 que forman sus coordenadas es nulo.
Son linealmente dependientes, pues
No es sencillo encontrar la relación entre los vectores. En este caso, se cumple que el vector w = 2u + v . Lo cual demuestra que son linealmente dependientes.
Es mucho más sencillo calcular el determinante y ver si da cero, que buscar esa relación entre los vectores.
3 Vectores en distinto plano.
3 vectores son linealmente independientes cuando el determinante de la matriz 3×3 que se forma con sus coordenadas es distinto de cero.
Son linealmente independientes, pues
Ese número que hemos obtenido en el cálculo del determinante, ¿que significa?
¿Si obtenemos un valor no nulo grande es igual que si obtenemos un valor no nulo pequeño?
Los tres vectores son las tres aristas de una figura tridimensional llamada tetraedro. El volumen de este tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del determinante.
Por ello, cuando da cero el determinante significa que no hay volumen, es decir, los tres vectores están inmersos en un solo plano.
En este último caso si se forma una figura tridimensional, que tiene un volumen no nulo.
