Calculando áreas de recintos con integrales

Área de un recinto usando la integral definida.

Vamos a desarrollar un primer ejemplo que nos permita establecer un método claro para aplicar las integrales de forma correcta en el cálculo de las áreas de ciertos recintos.

La función que vamos a utilizar es una recta: f(x)= x – 2.

Su gráfica es:

Problema 1:

Calcula el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas x = 3, x = 5 y la gráfica de la función f(x)= x – 2.

Solución:

Primera forma: Dibujamos y contamos cuadraditos.

El área vale 3 cuadraditos enteros + 2 medios cuadraditos = 4 cuadraditos.

Escribimos Área = 4 u2.

Segunda forma: Dibujamos y aplicamos geometría.

Utilizando el dibujo anterior la figura se divide en un rectángulo de base 2 y altura 1 y un triángulo de base 2 y altura 2, por lo que el área es:

Tercera forma: Utilizamos las integrales definidas.

Mirando el dibujo del recinto se observa que la función está por encima del eje OX y por tanto el área es:

Problema 2:

Calcula el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas x = –1, x = 1 y la gráfica de la función f(x)= x – 2.

Solución:

Primera forma: Dibujamos y contamos cuadraditos.

El área vale 3 cuadraditos enteros + 2 medios cuadraditos = 4 cuadraditos.

Escribimos Área = 4 u2.

Segunda forma: Dibujamos y aplicamos geometría.

Utilizando el dibujo anterior la figura se divide en un rectángulo de base 2 y altura 1 y un triángulo de base 2 y altura 2, por lo que el área es:

Tercera forma: Utilizamos las integrales definidas.

Mirando el dibujo del recinto se observa que la función está por debajo del eje OX y por tanto el área es:

Otra forma de calcularlo (sin tener en cuenta si está la función por encima del eje o por debajo es tomando valor absoluto de la integral definida:

Problema 3:

Calcula el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas x = –1, x = 5 y la gráfica de la función f(x)= x – 2.

Solución:

Primera forma: Dibujamos y contamos cuadraditos.

El área vale 6 cuadraditos enteros + 6 medios cuadraditos = 9 cuadraditos.

Escribimos Área = 9 u2.

Segunda forma: Dibujamos y aplicamos geometría.

Utilizando el dibujo anterior la figura se divide en dos triángulos de base 3 y altura 3, por lo que el área es:

Tercera forma: Utilizamos las integrales definidas.

Mirando el dibujo del recinto se observa que la función cambia de estar por debajo del eje OX a estar por encima del eje, por lo que debemos de averiguar donde se produce ese cambio.Con mirar el dibujo sabemos que se produce en x = 2. De no saberlo resolveríamos la ecuación f(x) = 0

El cálculo del área lo hacemos sumando dos integrales definidas de la función, una antes de ese momento de cambio (entre –1 y 2) y otra después (entre 2 y 5).El área es:

Cálculo del área de un recinto sin tener el dibujo del mismo

Calcula el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas x = 0, x = 5 y la gráfica de la función f(x)= x2– 2x – 3.

Solución:

Al ser la función una curva no podemos determinar de forma exacta el área del recinto con fórmulas geométricas o contando cuadraditos, pero si podemos utilizar el cálculo integral para calcular esta área de forma exacta. Veamos como.

Paso 1. Compruebo si la función corta el eje OX

De estos dos valores obtenidos x = 3 y x = –1 solo me interesa x = 3, porque está comprendido entre 0 y 5 (el inicio y el final del recinto).

Para el cálculo del área dividimos el recinto en dos partes: Una entre 0 y 3 y otra entre 3 y 5.

Paso 2. Expreso el valor del área del recinto usando las integrales definidas.

Aunque no es necesario vamos a comprobar con el dibujo que es cierto el resultado y todos los pasos realizados.

La gráfica de la función corta al eje OX en x = 3, por lo que el área la podemos dividir en dos partes.

El área es:

La inferior son 6 cuadraditos enteros + algo más de cuatro medio cuadraditos, se aproxima al valor obtenido con la integral de 9 cuadraditos.

La superior son 5 cuadraditos enteros + varios trozos que sumarían casi 6 cuadraditos se aproxima al valor obtenido con la integral de 10,7 cuadraditos.

!Ya deberíamos de ser capaces de calcular áreas¡