08 Mar Cálculo de áreas de recintos limitados por dos funciones
Área de un recinto limitado por dos funciones.
Resolvamos ejercicios de EBAU que nos permitan establecer un método claro para aplicar las integrales de forma correcta en el cálculo de las áreas de recintos encerrados entre dos gráficas.
Primer ejemplo.
EBAU de Murcia en Junio de 2015. Cuestión B.4: Considere el recinto limitado por la gráfica de las funciones f (x) = 2senx y g(x) = tgx en el primer cuadrante del plano XY, que está representado en la figura adjunta.
a) Determine los puntos de corte de dichas gráficas.
b) Calcule el área de dicho recinto.
Solución:
a) Los puntos de corte son las soluciones de la ecuación que se plantea al igualar las dos funciones.
Los puntos de corte del dibujo son x = 0 y x = π/3
- Área = Integral definida entre 0 y π/3 de la diferencia entre las dos funciones
Segundo ejemplo.
Solución:
Igualamos las dos funciones y encontramos los puntos de corte.
En este dibujo se puede comprobar visualmente que lo obtenido es correcto.
Tercer ejemplo.
EAU del País vasco en Julio 2019 Ejercicio A4. Sea R el recinto del plano limitado por las curvas y = x(3-x) y por y = x2 . Dibujar R y calcular su área.
Solución:
Haciendo unas tablas de valores para las parábolas del ejercicio se obtiene el dibujo del recinto
Averigüemos sus puntos de corte para poder calcular los límites de integración del recinto.
Cuarto ejemplo.
EvAu de Castilla La Mancha en Junio de 2019 Ejercicio 2B. Dadas las funciones 
y 
con x ∈ R.
a) Encuentra razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de las funciones f(x) y g(x).
b) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones f(x) y g(x).
Solución:
Por lo que en x = 0 hay un máximo relativo de f(x).
Si igualamos a cero la derivada nos queda x = 0. Este es el punto crítico de la función, veamos si es máximo o mínimo, para ello veremos cómo varia el signo de la derivada, es decir, como crece o decrece la función.
En el intervalo (–∞,0) si tomamos x = –1 la derivada es g ´(–1) = –1< 0 la función decrece.
En el intervalo (0,+∞) si tomamos x = 1 la derivada es g´(1) = 1 > 0 la función crece.
Por lo que en x = 0 hay un mínimo relativo de g(x).
b)
Averigüemos primero si las funciones f(x) y g(x) se cortan.
El área pedida es la integral definida de la diferencia de las dos funciones entre –1 y 1.
Este valor se observa que concuerda (aproximadamente) con el área del dibujo
