Discusión de un sistema – 2. cómo hacerlo

Un segundo ejemplo (EBAU murciana de septiembre de 2014):

CUESTIÓN B.1:
a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

b) Si es posible, resuélvalo para el valor de a = 0.

¡MI FORMA DE HACERLO!
¡MEZCLANDO RANGOS Y GAUSS!

a) La matriz de coeficientes asociada al sistema es

con determinante

Si igualamos a cero.

Debemos considerar 3 casos distintos:

            CASO 1. a distinto de 0 y de 3.       CASO 2. a = 0.         CASO 3. a = 3

CASO 1.  a distinto de 0 y de 3.

En este caso el determinante de la matriz A es distinto de 0 y el rango de A es 3. También el rango de A/B es 3.

CASO 2. a = 0  

Sustituyendo el valor de a en el sistema planteado este queda:

Lo resolvemos.

Las soluciones del sistema son: x = t; y = t; z = 0

El sistema es Compatible Indeterminado.

CASO 3. a = 3 

Sustituyendo el valor de a en el sistema planteado este queda:

Lo resolvemos utilizando Gauss.

En este sistema equivalente al inicial aparece la igualdad 0 = -3, que es una igualdad imposible. Este sistema no tiene solución.

Es un sistema Incompatible.

b) Para a = 0 está resuelto en el caso 2 del apartado anterior y las soluciones son x = t; y = t; z = 0 .

¡OTRA FORMA DE DISCUTIR UTILIZANDO EQUIVALENCIAS!
¡MÉTODO DE GAUSS!

a) Triangulamos el sistema:

En la diagonal principal aparecen los coeficientes a y (3 – a).

Que se anulen o no estos coeficientes nos puede colocar en situaciones diferentes.

Los diferentes casos serian:

CASO 1. El valor a distinto de 0 y de 3. CASO 2. El valor a es 0. CASO 3. El valor a es 3.

Comenzamos el estudio del sistema en cada uno de estos casos.

CASO 1. a distinto de 0 y de 3.
El sistema

se puede resolver obteniendo una única solución, pues se puede despejar z en la 3ª ecuación y luego sustituyendo en el resto de ecuaciones hallar el valor de x e  y.

CASO 2. a = 0  

El sistema queda:

Se puede resolver, pero tiene infinitas soluciones.

Las soluciones del sistema son: x = t; y = t; z = 0

El sistema es Compatible Indeterminado.

CASO 3. a = 3

El sistema queda:

La igualdad 0 = -3  es una igualdad imposible. Este sistema no tiene solución.

Es un sistema Incompatible.

b) Para a = 0 está resuelto en el apartado anterior y las soluciones son x = t; y = t; z = 0

¡OTRA FORMA DE DISCUTIR SISTEMAS UTILIZANDO LOS RANGOS!
¡TEOREMA DE ROUCHE FROBENIUS!

a) La matriz de coeficientes asociada al sistema es

con determinante

Si igualamos a cero.

Debemos considerar 3 casos distintos:

            CASO 1. a distinto de 0 y de 3.        CASO 2. a = 0.          CASO 3. a = 3

CASO 1.  a ≠ 0 y a ≠ 3

El determinante de A es no nulo y el rango de la matriz A es 3. El rango de la matriz ampliada es también 3, al igual que el número de incógnitas.

El sistema es compatible determinado

CASO 2. a = 0

La matriz de coeficientes queda:

Su determinante es nulo y su rango es menor de 3.

¿Rango de A es 2? Si consideramos el menor que resulta de quitar la fila y columna 1ª vemos que es no nulo.

El rango de A es 2.

La matriz ampliada es:

Como su 4ª columna es todo ceros su rango es igual que el de la matriz A. Rango de A/B es 2.

CASO 3. a = 3

La matriz de coeficientes queda:

Su determinante es nulo y su rango es menor de 3.

¿Rango de A es 2? Si consideramos el menor que resulta de quitar la fila y columna 3ª vemos que es no nulo.

El rango de A es 2.

La matriz ampliada es:

El rango de A es 2 y podemos quitar una de las 3 primeras columnas en la consideración del rango de A/B. Ninguna de estas 3 columnas es nula y ninguna es proporcional a otra, por lo que puedo quitar cualquiera, por ejemplo, la 1ª. Calculo el determinante de la matriz 3×3 que queda.

El rango de A/B es 3.

Los rangos de A y de A/B son distintos.

b) Para a = 0  el sistema queda:

Las soluciones son x = t; y = t; z = 0 .