26 Nov Discusión de un sistema – 2. cómo hacerlo
Un segundo ejemplo (EBAU murciana de septiembre de 2014):
CUESTIÓN B.1:
a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:
b) Si es posible, resuélvalo para el valor de a = 0.
¡MI FORMA DE HACERLO!
¡MEZCLANDO RANGOS Y GAUSS!
a) La matriz de coeficientes asociada al sistema es
con determinante
Si igualamos a cero.
Debemos considerar 3 casos distintos:
CASO 1. a distinto de 0 y de 3. CASO 2. a = 0. CASO 3. a = 3
CASO 1. a distinto de 0 y de 3.
En este caso el determinante de la matriz A es distinto de 0 y el rango de A es 3. También el rango de A/B es 3.
CASO 2. a = 0
Sustituyendo el valor de a en el sistema planteado este queda:
Lo resolvemos.
Las soluciones del sistema son: x = t; y = t; z = 0
El sistema es Compatible Indeterminado.
CASO 3. a = 3
Sustituyendo el valor de a en el sistema planteado este queda:
Lo resolvemos utilizando Gauss.
En este sistema equivalente al inicial aparece la igualdad 0 = -3, que es una igualdad imposible. Este sistema no tiene solución.
Es un sistema Incompatible.
b) Para a = 0 está resuelto en el caso 2 del apartado anterior y las soluciones son x = t; y = t; z = 0 .
¡OTRA FORMA DE DISCUTIR UTILIZANDO EQUIVALENCIAS!
¡MÉTODO DE GAUSS!
a) Triangulamos el sistema:
En la diagonal principal aparecen los coeficientes a y (3 – a).
Que se anulen o no estos coeficientes nos puede colocar en situaciones diferentes.
Los diferentes casos serian:
CASO 1. El valor a distinto de 0 y de 3. CASO 2. El valor a es 0. CASO 3. El valor a es 3.
Comenzamos el estudio del sistema en cada uno de estos casos.
CASO 1. a distinto de 0 y de 3.
El sistema
se puede resolver obteniendo una única solución, pues se puede despejar z en la 3ª ecuación y luego sustituyendo en el resto de ecuaciones hallar el valor de x e y.
CASO 2. a = 0
El sistema queda:
Se puede resolver, pero tiene infinitas soluciones.
Las soluciones del sistema son: x = t; y = t; z = 0
El sistema es Compatible Indeterminado.
CASO 3. a = 3
El sistema queda:
La igualdad 0 = -3 es una igualdad imposible. Este sistema no tiene solución.
Es un sistema Incompatible.
b) Para a = 0 está resuelto en el apartado anterior y las soluciones son x = t; y = t; z = 0
¡OTRA FORMA DE DISCUTIR SISTEMAS UTILIZANDO LOS RANGOS!
¡TEOREMA DE ROUCHE FROBENIUS!
a) La matriz de coeficientes asociada al sistema es
con determinante
Si igualamos a cero.
Debemos considerar 3 casos distintos:
CASO 1. a distinto de 0 y de 3. CASO 2. a = 0. CASO 3. a = 3
CASO 1. a ≠ 0 y a ≠ 3
El determinante de A es no nulo y el rango de la matriz A es 3. El rango de la matriz ampliada es también 3, al igual que el número de incógnitas.
El sistema es compatible determinado
CASO 2. a = 0
La matriz de coeficientes queda:
Su determinante es nulo y su rango es menor de 3.
¿Rango de A es 2? Si consideramos el menor que resulta de quitar la fila y columna 1ª vemos que es no nulo.
El rango de A es 2.
La matriz ampliada es:
Como su 4ª columna es todo ceros su rango es igual que el de la matriz A. Rango de A/B es 2.
CASO 3. a = 3
La matriz de coeficientes queda:
Su determinante es nulo y su rango es menor de 3.
¿Rango de A es 2? Si consideramos el menor que resulta de quitar la fila y columna 3ª vemos que es no nulo.
El rango de A es 2.
La matriz ampliada es:
El rango de A es 2 y podemos quitar una de las 3 primeras columnas en la consideración del rango de A/B. Ninguna de estas 3 columnas es nula y ninguna es proporcional a otra, por lo que puedo quitar cualquiera, por ejemplo, la 1ª. Calculo el determinante de la matriz 3×3 que queda.
El rango de A/B es 3.
Los rangos de A y de A/B son distintos.
b) Para a = 0 el sistema queda:
Las soluciones son x = t; y = t; z = 0 .