Discusión de un sistema – 1. explicación

Discutir un sistema es decir qué tipo de sistema es.

Solo caben 3 posibilidades. El sistema puede tener una solución única (Sistema Compatible Determinado), o infinitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado)o no  tiene solución (Sistema Incompatible).

Este estudio se puede realizar de muy distintas maneras. En los dos ejemplos siguientes utilizaremos el teorema de Rouché Frobenius (comparando el número de incógnitas y los rangos de matriz de coeficientes y ampliada) y el método de Gauss.

También usaremos la resolución del sistema si este es muy sencillo.

Debemos ser ordenados y dejar todo nuestro razonamiento por escrito y ser lo suficientemente claros para que cualquier persona que lea nuestro ejercicio resuelto sea capaz de entender nuestro razonamiento, sin albergar ningún tipo de dudas.

Vamos a discutir el sistema de tres formas distintas. Analizad cual os interesa más aplicar y fijar ese método como el vuestro. Pero debéis justificar vuestras afirmaciones.

La primera resolución de este ejemplo intentará ser muy detallada en la explicación buscando esa claridad. Después será resuelto el problema tal y como deberíais de resolverlo vosotros.

Un primer ejemplo (EBAU asturiana de junio de 2019):

Dado el sistema de ecuaciones:

a) Estudia y clasifica el sistema según los valores de m.                            

b) Resuélvelo, si es posible, para el caso m = 1.                                         
c) Para qué valores de m se tiene la solución x = 0; y = 1; z = 1.


¡UTILIZAMOS LOS RANGOS!

Recordamos:

Si el sistema es:

tiene una expresión matricial:

Por ello en el estudio del sistema por rangos consideramos las dos matrices:

Comparamos los rangos de las 2 matrices. Si son iguales el sistema tiene solución (es compatible). Si son diferentes, el sistema no tiene solución (es incompatible).


a) La matriz de coeficientes del sistema es:

y la matriz ampliada es

Para determinar el rango de la matriz A en función del parámetro m es decisivo el valor del determinante de la matriz de coeficientes A. Lo calculamos:

Lo igualamos a cero para averiguar para que valores de m se anula.

Si el valor de m es 0, 1 o –1 el determinante de A vale 0 y por tanto el rango de la matriz A (dimensión 3×3) será menor de 3.

En caso contrario, es decir, si el valor de m es distinto de los tres valores (0,1 y –1) el determinante de A no vale 0, por lo que el rango de la matriz A (dimensión 3×3) es 3.

Vamos a analizar esto con más detalle.

Distinguimos 4 situaciones diferentes, en función del valor del parámetro m:

Empezamos el estudio por el caso más simple de analizar.

CASO 1.  m distinto de 0, 1 y -1.

¿El rango de A?

En este caso el determinante de la matriz A no sería cero y el rango de A sería 3.

¿Y el rango de A/B?

Como la matriz A es un menor de orden 3 de la matriz A/B y tiene determinante no nulo entonces el rango de la matriz A/B es también 3.

¿El número de incógnitas?

       Es 3.

Los tres valores coinciden:

CASO 2. m = 0
Es un valor concreto de m, lo sustituimos en el sistema y vemos como queda.

El sistema es tan sencillo que hemos podido resolverlo con mucha facilidad y hemos comprobado que tipo de sistema es.
El sistema tiene infinitas soluciones (Compatible Indeterminado).

CASO 3. m = –1.
Es un valor concreto de m, lo sustituimos en el sistema y vemos como queda.

Este sistema no es tan sencillo de resolver, determinamos los rangos de A y A/B y los comparamos con el número de incógnitas.
La matriz de coeficientes es

¿El rango de A? ¿El rango de A es 3?

     El determinante de la matriz de los coeficientes es cero. Rango de A < 3.

¿El rango de A es 2?

     Debemos encontrar un menor de orden 2 con determinante no nulo.Tomamos el menor que resulta de quitar la fila y columna 3ª de la matriz A y calculamos su determinante:

El rango de A es 2.

¿Y el rango de A/B?

La matriz A son las 3 primeras columnas de A/B y tiene rango 2, por lo que podemos eliminar una de esas 3 columnas en la investigación del rango de A/B.
No hay ninguna columna que sea todo ceros, ni ninguna proporcional a otra, por lo que puedo suprimir cualquiera, por ejemplo, la 1ª columna.

Al hacer esto, nos queda una matriz 3×3, calculamos su determinante y si este vale 0 el rango de A/B será el mismo que el de A y si no es 0 el rango de A/B será 3.

Como es nulo, el rango de A/B no es 3 y será 2 (igual que el rango de A).

¿El número de incógnitas?

       Es 3.

Coinciden los rangos de A y A/B, pero es un valor menor que el número de incógnitas:

CASO 4. m = 1

Es un valor concreto de m, lo sustituimos en el sistema y vemos como queda.

Optamos por determinar los rangos de A y A/B y los comparamos con el número de incógnitas.

La matriz de coeficientes es

¿El rango de A? ¿El rango de A es 3?

El determinante de la matriz de los coeficientes es cero. Rango de A < 3.

¿El rango de A es 2?

Debemos encontrar un menor de orden 2 con determinante no nulo.Tomamos el menor que resulta de quitar la fila y columna 3ª de la matriz A y calculamos su determinante:

El rango de A es 2.

¿Y el rango de A/B?

La matriz A son las 3 primeras columnas de A/B y tiene rango 2, por lo que podemos eliminar una de esas 3 columnas en la investigación del rango de A/B. No hay ninguna columna que sea todo ceros, ni ninguna proporcional a otra, por lo que puedo suprimir cualquiera, por ejemplo, la 1ª columna.Al hacer esto, nos queda una matriz 3×3, calculamos su determinante y si este vale 0 el rango de A/B será el mismo que el de A y si no es 0 el rango de A/B será 3.

Como es nulo, el rango de A/B no es 3 y será 2 (igual que el rango de A).

¿El número de incógnitas?

       Es 3.

Coinciden los rangos de A y A/B, pero es un valor menor que el número de incógnitas:

Resumiendo lo obtenido:

El sistema es compatible determinado para valores de m distintos de 0, 1 y –1.

El sistema es compatible indeterminado para m = 0 o m = 1 o m = –1.


b) Para m = 1 resolvemos el sistema por Gauss:

c) Si sustituimos x = 0; y = 1; z = 1 como solución del sistema se debería cumplir:

Estas ecuaciones se cumplen para cualquier valor de m


¡Y SI UTILIZAMOS GAUSS!

a) Triangulamos el sistema:

Esta simplificación solo es válida si m es distinto de cero. El caso m = 0 hay que considerarlo como un caso especial para el que no sirve este sistema equivalente obtenido por el método de Gauss.

A partir de aquí suponemos m distinto de cero y al final añadimos este caso particular que estudiaremos con el sistema de ecuaciones inicial.

Hay que calcular cuando se anulan los coeficientes de la diagonal principal del sistema.

Hay que considerar 4 casos distintos:

CASO 1. m distinto de 0, 1 y –1.    CASO 2. m = 0.    CASO 3. m = –1  y     CASO 4. m = 1.

Empezamos el estudio por el caso más simple de analizar.

CASO 1.  m distinto de 0, 1 y -1

El sistema queda:

y se puede resolver, ya que podemos obtener el valor de z despejando en la ecuación tercera (z = 1) y luego sustituyendo en las otras podemos obtener el valor de x e y.

El sistema es Compatible Determinado.

CASO 2. m = 0.

Debemos considerar el sistema inicial y queda:

El sistema es Compatible Indeterminado.

CASO 3. m = –1

El sistema queda:

El sistema es Compatible Indeterminado.

CASO 4. m = 1

El sistema queda:

El sistema es Compatible Indeterminado.

Resumiendo lo obtenido:

El sistema es compatible determinado para valores de m distintos de 0, 1 y –1.

El sistema es compatible indeterminado para m = 0 o m = 1 o m = –1.

b) Para m = 1 el sistema ya está resuelto en el caso 4 y la solución es

¡UNA TERCERA FORMA DE HACERLO MEZCLANDO LOS DOS MÉTODOS ANTERIORES!
¡UN MÉTODO MIXTO!
¡MÁS SEGURO!
¡MÁS COMPLETO!
¡YO PREFIERO HACERLO ASÍ!
¡Vamos allá!

Primer paso: Detectar los casos especiales. Para ello uso el determinante de la matriz de coeficientes.        

a) La matriz de coeficientes del sistema es:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es discusion4.jpg

El determinante de la matriz de coeficientes A es:

Lo igualamos a cero para encontrar los casos especiales:

Segundo paso: He obtenido que hay 3 valores especiales de m y por tanto hay 4 casos (en principio diferentes) a analizar.

CASO 1. m distinto de 0, 1 y –1. (el más fácil de analizar)

En este caso el determinante de A es distinto de 0 y el rango de A es 3. También el rango de A/B es 3

CASO 2. m = 0

Sustituimos este valor de m en el sistema y queda:

Que podemos resolver con facilidad y obtenemos:




El sistema tiene infinitas soluciones. Es compatible indeterminado.

CASO 3. m = –1

Sustituimos este valor de m en el sistema y queda:

Lo resolvemos por Gauss y obtenemos sus soluciones.

La solución es:



Tiene infinitas soluciones. El sistema es compatible indeterminado

CASO 4. m = 1

Sustituimos este valor de m en el sistema y queda:

Lo resolvemos por Gauss.

La solución es:




Tiene infinitas soluciones. El sistema es compatible indeterminado

Tercer paso: Resumo todo lo obtenido. Recordemos que discutir un sistema es decir qué tipo de sistema es para cada valor del parámetro.

Resumiendo lo obtenido:

El sistema es compatible determinado para valores de m distintos de 0, 1 y –1.

El sistema es compatible indeterminado para m = 0 o m = 1 o m = –1.


b) Para m = 1 el sistema ya está resuelto en el caso 4 y la solución es

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es discusion31.jpg