Introducción a los límites de funciones

Una función es un camino dibujado en el plano siguiendo unas indicaciones y teniendo como referencia un sistema de coordenadas. Una función muy sencilla y fácil de dibujar es la parábola

De esta gráfica podemos observar que tiene un trazo continuo (se dibuja sin tener que levantar el lápiz en ningún momento) e infinito (podemos alargar la línea roja todo lo que queramos o podamos).

La gráfica es un camino curvo que para estudiar sus características lo recorreremos de izquierda a derecha (sentido creciente de las x (eje horizontal).

Estudiemos el límite de la función cuando el valor de x (horizontal) se acerca a 0.

Nos podemos acercar a 0 por dos lados, por la derecha (0+) y por la izquierda (0)

Observamos que acercándonos por ambos lados llegamos al mismo punto de coordenadas (0, 1) por lo que decimos que

Este es un ejemplo sencillo de LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

Veamos que es el LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO (+∞ o –∞)

Para ver cual es el límite de la función f(x) = x2–4x+1 en el +∞ recorreremos la función dirigiéndonos hacia la derecha de la gráfica imaginado que ocurriría si la gráfica no tuviese fin.

Observamos que en este recorrido podríamos subir tan alto como quisiéramos, es decir, la altura podría ser infinita. Esta situación se expresa como

Hagamos lo mismo, pero retrocediendo en el eje horizontal hasta –∞.

Observamos que en este recorrido podríamos subir tan alto como quisiéramos, es decir, la altura podría ser infinita. Esta situación se expresa como

ESTA FUNCIÓN ES MUY SENCILLA (polinómica), pongamos otro ejemplo con una función más compleja, por ejemplo

Su gráfica es más compleja. Tiene una discontinuidad.

Observamos que en x = 1 la gráfica se interrumpe. Veamos cómo se expresa este hecho usando los límites.

Si nos acercamos a x = 1 por la derecha (1+)

La gráfica desciende hasta una altura que denominamos –∞. Lo expresamos como

Si nos acercamos a x = 1 por la izquierda (1) tenemos que

La gráfica asciende hasta una altura que denominamos +∞. Lo expresamos como

Se nos plantea una situación especial. Los límites laterales no coinciden: uno vale –∞ y el otro +∞. Esto lo expresamos como sigue:

Veamos el valor de los límites en el infinito. Para ver cuál es el límite de la función

en el +∞ recorreremos la función dirigiéndonos hacia la derecha de la gráfica imaginado que ocurriría si la gráfica no tuviese fin.

Observamos que en este recorrido podríamos subir tan alto como quisiéramos, es decir, la altura podría ser infinita. Esta situación se expresa como

Hagamos lo mismo pero descendiendo en el eje horizontal hasta –∞. Para ver cuál es el límite de la función

en el –∞ recorreremos la función dirigiéndonos hacia la izquierda de la gráfica imaginado que ocurriría si la gráfica no tuviese fin.

Observamos que en este recorrido podríamos bajar tanto como quisiéramos. Esta situación se expresa como

Existen más ejemplos con otras funciones y con límites de valores distintos.

Si cambiamos la expresión de la función la situación es diferente y el valor de los límites pueden ser diferentes.

Cambiemos un poco la función anterior y veamos que ocurre.

Utilicemos la función

Su gráfica es más compleja. Tiene una discontinuidad y un comportamiento peculiar a la derecha y a la izquierda de la gráfica.

Observamos que en x = 1 la gráfica se interrumpe. Vamos a expresar este hecho usando los límites.

Si nos acercamos a x = 1 por la derecha (1+)

La gráfica asciende hasta una altura que denominamos +∞. Lo expresamos como

Si nos acercamos a x = 1 por la izquierda (1) tenemos que

La gráfica desciende hasta una altura que denominamos –∞. Lo expresamos como

Se nos plantea una situación especial. Los límites laterales no coinciden: uno vale –∞ y el otro+ ∞. Esto lo expresamos como sigue:

Veamos el valor de los límites en el infinito. Para ver cuál es el límite de la función

en el + ∞ recorreremos la función dirigiéndonos hacia la derecha de la gráfica imaginado que ocurriría si la gráfica no tuviese fin.

Observamos que en este recorrido la gráfica desciende acercándose, pero sin sobrepasar la altura con valor y = 1. Esta situación se expresa como

Hagamos lo mismo pero descendiendo en el eje horizontal hasta –∞. Para ver cuál es el límite de la función

en el –∞ recorreremos la función dirigiéndonos hacia la izquierda de la gráfica imaginado que ocurriría si la gráfica no tuviese fin.

Observamos que en este recorrido la gráfica asciende acercándose, pero sin sobrepasar la altura con valor y = 1. Esta situación se expresa como

Este proceso de cálculo de situaciones límite en las funciones requiere demasiado trabajo.

Necesitamos herramientas que aligeren el trabajo para el cálculo de límites, tanto en un punto como en el infinito. Pero eso ya es otra historia. Y más larga de explicar por la variedad tan grande de situaciones que se pueden plantear.

Próximamente pondremos algunas explicaciones de cálculo de límites.

Y eso es todo en la introducción a los límites.