09 Oct Rango de una matriz. ¡Con Gauss!
Vamos a ver cuál es el número de filas o columnas linealmente independientes en una matriz utilizando el método de Gauss que nos transforma la matriz inicial en otra con el mismo rango pero con una apariencia más sencilla.
¡Hacemos ceros debajo de la diagonal principal!
PRIMERO.
La matriz es triangular, por ejemplo, todos los elementos por debajo de la diagonal principal son 0. En este caso el rango es contar el número de filas con elementos no nulos.
SEGUNDO.
Nuestra matriz no es triangular. La transformamos en otra equivalente mediante el método de Gauss y después decidimos el rango por el conteo de filas y columnas con algún elemento no nulo.
EJEMPLO 1.
Debemos de anular los elementos situados debajo de la diagonal principal. Utilizamos el método de Gauss para anular 1º el 3, luego el –1 y por último el –5.
En la matriz transformada B´´ la fila 3ª son todo ceros (1ª y 2ª con algún elemento no nulo), por lo que el rango de B´´ es 2 y por tanto el rango de B también es 2.
EJEMPLO 2.
Si la matriz no es cuadrada se procede de forma parecida.
Para calcular el rango de A la transformamos utilizando el método de Gauss. Vamos a anular 1º el 2, luego el –3 y por último el –6.
Observamos que la fila 3ª son todo ceros (en la fila 1ª y 2ª de A´´ tenemos algún elemento no nulo), por lo que el rango de A´´ es 2. El rango de A también es 2.
EJEMPLO 3. Ejercicio 6 de la página 30 de los apuntes de álgebra. Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz
Anulamos los elementos situados por debajo de la diagonal principal.
El rango de la matriz A´´ se decide según 3a + 1 sea cero o no.
Existen dos posibilidades:
